Question

16．已知函数f（x）=x³+ax+1的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为-3
（1）求a，b的值；
（2）求A的取值范围，使不等式f（x）＜A-2008对于x∈[-1，4]恒成立．

Answer 1

分析 （1）先求导函数，利用过函数f（x）=x³+ax+1的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为-3，根据导数的几何意义，可得f′（1）=-3，从而可求a，b的值；
（2）令g（x）=x³-6x，则问题转化为求g（x）在[-1，4]上的最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=x³+ax+1的导数为f′（x）=3x²+a，
由图象上一点B（1，b）的切线的斜率为-3，
即有3+a=-3，1+a+1=b，
解得a=-6，b=-4；
（2）不等式f（x）＜A-2008对于x∈[-1，4]恒成立，
即为x³-6x＜A-2009对于x∈[-1，4]恒成立．
令g（x）=x³-6x，g′（x）=3x²-6，
令g′（x）=0，解得x=$\sqrt{2}$（-$\sqrt{2}$舍去），
g（-1）=5，g（$\sqrt{2}$）=-4$\sqrt{2}$，g（4）=40，
即有g（x）在[-1，4]上的最大值为40．
则A-2009＞40，即A＞2049．
故A的取值范围为（2049，+∞）．

点评 本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，解题的关键是利用导数确定函数的单调性，从而确定函数的最值．