Question

6．已知f（x）=ln（ae^x-x-3）定义域为R，求a的范围．

Answer 1

分析 根据f（x）的定义域为R，得出ae^x-x-3＞0在x∈R时恒成立，利用分离常数法，得出a＞$\frac{x+3}{{e}^{x}}$；求出g（x）=$\frac{x+3}{{e}^{x}}$的最大值即可．

解答 解：∵f（x）=ln（ae^x-x-3）定义域为R，
∴ae^x-x-3＞0在x∈R时恒成立，
即ae^x＞x+3，
∴a＞$\frac{x+3}{{e}^{x}}$；
设g（x）=$\frac{x+3}{{e}^{x}}$，x∈R，
则g′（x）=$\frac{{e}^{x}-（x+3{）e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{-（x+2）}{{e}^{x}}$，
当x＜-2时，g′（x）＞0，g（x）是单调增函数，
当x＞-2时，g′（x）＜0，g（x）是单调减函数，
∴x=-2时，g′（x）=0，g（x）取得最大值g（-2）=$\frac{-2+3}{{e}^{-2}}$=e²；
∴a的取值范围是（e²，+∞）．

点评 本题考查了利用导数判断函数的单调性与求最值的问题，也考查了分类常数法以及不等式恒成立的应用问题，是综合性题目．