Question

14．已知数列{a_n}是等比数列，且满足a₂+a₅=36，a₃•a₄=128．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a_n}是递增数列，且b_n=a_n+log₂a_n（n∈N*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）数列{a_n}是等比数列，且满足a₂+a₅=36，a₃•a₄=128．可得a₂a₅=a₃a₄=128，再利用等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用等差数列与等比数列前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}是等比数列，且满足a₂+a₅=36，a₃•a₄=128．
∴a₂a₅=a₃a₄=128，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}+{a}_{5}=36}\\{{a}_{2}{a}_{5}=128}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=4}\\{{a}_{5}=32}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=32}\\{{a}_{5}=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{q=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=64}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴a_n=2ⁿ，或${a}_{n}=64×（\frac{1}{2}）^{n-1}={2}^{7-n}$．
（Ⅱ）∵数列{a_n}是递增数列，∴${a}_{n}={2}^{n}$，
∴b_n=a_n+log₂a_n
=2ⁿ+n，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=（2+2²+…+2ⁿ）+（1+2+…+n）
=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$+$\frac{n（1+n）}{2}$
=2ⁿ⁺¹-2+$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．