Question

7．已知函数f（x）=cos2x-8sin⁴$\frac{x}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数y=f（2x-$\frac{π}{3}$）在x$∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先对函数的关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步求出函数的周期．
（Ⅱ）直接利用函数的关系式，再利用函数的定义域求出函数的值域．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=cos2x-8sin⁴$\frac{x}{2}$．
=1-2sin²x-2$（2{sin}^{2}\frac{x}{2}）^{2}$
=1-2sin²x-2（1-cosx）²
=4cosx-3，
所以函数的最小正周期为2π．
（Ⅱ）由于f（x）=4cosx-3，
所以：y=f（$2x-\frac{π}{3}$）=4cos（$2x-\frac{π}{3}$）-3
由于：$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{4}$
所以：-$\frac{2π}{3}$$≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{6}$
则：-$\frac{1}{2}≤$cos（2x-$\frac{π}{3}$）≤1，
则：-5≤y≤1
函数的值域为：[-5，1]．

点评 本题考查的知识要点：三角函数的诱导公式，利用余弦型函数的关系式求函数的周期，利用函数的定义域求函数的值域．