Question

16．设函数f（x）=|2^x-1|，实数a＜b，且f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（-∞，0）．

Answer 1

分析 将函数解析式化为分段函数的形式，进而根据实数a＜b，且f（a）=f（b），结合指数函数的图象和性质，分类讨论，可得a+b的取值范围．

解答 解：∵$f（x）=|{2}^{x}-1|=\left\{\begin{array}{l}1-{2}^{x}，（x≤0）\\{2}^{x}-1，（x＞0）\end{array}\right.$，
若a＜b≤0，由f（a）=f（b）得1-2^a=1-2^b，得a=b，与a＜b矛盾；
若0＜a＜b，由f（a）=f（b）得2^a-1=2^b-1，得a=b，与a＜b矛盾；
若a＜0＜b，由f（a）=f（b）得1-2^a=2^b-1，得2^a+2^b=2，
而${2^a}+{2^b}＞2\sqrt{{2^a}•{2^b}}=2\sqrt{{2^{a+b}}}$，
∴2^a+b＜1=2⁰，
∴a+b＜0，
故a+b的取值范围是（-∞，0），
故答案为：（-∞，0）

点评 本题考查的知识点是分类函数的应用，指数函数的图象和性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．