Question

6．若实数x，y满足x²+x+y²+y=0，则x+y的范围是[-2，0]．

Answer 1

分析 将圆x²+x+y²+y=0，化为参数方程，进而根据正弦型函数的图象和性质，可得x+y的范围．

解答 解：∵实数x，y满足x²+x+y²+y=0，
∴（x+$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$，
即2（x+$\frac{1}{2}$）²+2（y+$\frac{1}{2}$）²=1，
令$\sqrt{2}$（x+$\frac{1}{2}$）=cosθ，$\sqrt{2}$（y+$\frac{1}{2}$）=sinθ，
∴x=$\frac{\sqrt{2}}{2}cosθ-\frac{1}{2}$，y=$\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ-\frac{1}{2}$，
x+y=$\frac{\sqrt{2}}{2}cosθ+\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ-1$=sin（$θ+\frac{π}{4}$）-1∈[-2，0]，
故x+y的范围是[-2，0]，
故答案为：[-2，0]

点评 本题考查的知识点是圆的方程，其中将一般方程化为参数方程，进而转化求三角函数的最值，是解答的关键．