Question

11．我们把函数y=f（x）图象上的点到坐标原点距离的最小值叫做函数y=f（x）的“中心距离”，已知函数g（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）的“中心距离”不小于$\sqrt{2}$，则实数a的取值范围为[$\sqrt{2}$-1，+∞）．

Answer 1

分析 任取函数g（x）=x+$\frac{a}{x}$图象上的一点P（x，x+$\frac{a}{x}$），由距离公式和基本不等式可得|OP|=$\sqrt{2{x}^{2}+\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}+2a}$≥$\sqrt{2\sqrt{2}a+2a}$，再由题意可得$\sqrt{2\sqrt{2}a+2a}$≥$\sqrt{2}$，解关于a的不等式可得．

解答 解：由题意任取函数g（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）图象上的一点P（x，x+$\frac{a}{x}$），
由两点间的距离公式可得P到原点的距离|OP|=$\sqrt{{x}^{2}+（x+\frac{a}{x}）^{2}}$
=$\sqrt{2{x}^{2}+\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}+2a}$≥$\sqrt{2\sqrt{2{x}^{2}•\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}}+2a}$=$\sqrt{2\sqrt{2}a+2a}$，
当且仅当2x²=$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$即x=±$\sqrt{\frac{\sqrt{2}a}{2}}$时取等号，
∵“中心距离”不小于$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2\sqrt{2}a+2a}$≥$\sqrt{2}$，
解得a≥$\sqrt{2}$-1，
∴实数a的取值范围为：[$\sqrt{2}$-1，+∞）
故答案为：[$\sqrt{2}$-1，+∞）

点评 本题考查距离公式，涉及新定义和基本不等式求最值，属中档题．