Question

5．已知1＜a＜b，x=$\sqrt{lo{g}_{2}a•lo{g}_{2}b}$，y=$\frac{1}{2}$（log₂a+log₂b），z=log₂$\frac{a+b}{2}$，则（　　）

• A． z＜x＜y
• B． x＜y＜z
• C． y＜x＜z
• D． x＜z＜y

Answer 1

分析 由基本不等式可知$\sqrt{lo{g}_{2}a•lo{g}_{2}b}$＜$\frac{1}{2}$（log₂a+log₂b），$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$；再由对数函数的单调性判断即可．

解答 解：∵1＜a＜b，
∴0＜log₂a＜log₂b；
∴$\sqrt{lo{g}_{2}a•lo{g}_{2}b}$＜$\frac{1}{2}$（log₂a+log₂b）；
再由y=$\frac{1}{2}$（log₂a+log₂b）=log₂$\sqrt{ab}$，z=log₂$\frac{a+b}{2}$，
及$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$知，
log₂$\sqrt{ab}$＜log₂$\frac{a+b}{2}$，
故x＜y＜z，
故选：B．

点评 本题考查了基本不等式的应用及对数函数单调性的应用，属于基础题．