Question

19．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}$（α为参数）
（Ⅰ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标$（2\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$，判断点P与直线l的位置关系；
（Ⅱ）设点Q为曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先把点的极坐标转化成直角坐标，进一步利用点和方程的关系求出结果．
（Ⅱ）进一步利用点到直线的距离，利用三角函数关系式的恒等变换，把函数关系式变形成余弦型函数，进一步求出最值．

解答 解：（Ⅰ）把极坐标系下的点$P（2\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$化为直角坐标，得P（-2，2）．…（1分）
因为点P的直角坐标（-2，2）满足直线l的方程x-y+4=0，
所以点P在直线l上．…（3分）
（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为$（\sqrt{3}cosα，sinα）$，…（4分）
从而点Q到直线l的距离为$d=\frac{|\sqrt{3}cosα-sinα+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{2cos（α+\frac{π}{6}）+4}{\sqrt{2}}$
=$\sqrt{2}cos（α+\frac{π}{6}）+2\sqrt{2}$，…（6分）
由此得，当$cos（α+\frac{π}{6}）=-1$时，d取得最小值$\sqrt{2}$．…（10分）

点评 本题考查的知识要点：极坐标和直角坐标的互化，点到直线的距离的公式的应用，三角函数的最值问题．