Question

9．已知数列{a_n}中，a₁=1前n项和S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）设b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，求证：b₁+b₂+…+b_n＞$\frac{2}{7}$．

Answer 1

分析 （I）利用递推式即可得出；
（II）利用等比数列的定义及其前n项和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）解：∵S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n-$[\frac{3}{2}（n-1）^{2}-\frac{1}{2}（n-1）]$=3n-2，
当=1时，也成立．
∴a_n=3n-2．
（Ⅱ）证明：∵${b}_{n}={2}^{{a}_{n}}$=2^3n-2，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{2}^{3（n+1）-2}}{{2}^{3n-2}}$=8，
∴数列{b_n}是以2为首项，以8为公比的等比数列，
∴b₁+b₂+…+b_n=$\frac{2（{8}^{n}-1）}{8-1}$=$\frac{2}{7}（{8}^{n}-1）$$＞\frac{2}{7}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的定义及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．