Question

4．设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，已知a₁+a₂=5，S₄=14，．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先根据等差数列建立方程组，求出首项和公差，进一步求出数列的通项公式．
（Ⅱ）利用上步求出的通项公式，进一步求出新数列的通项公式，最后利用等比数列的前n项和公式求出结果．

解答 解：（Ⅰ）等差数列{a_n}的公差为d，
由于a₁+a₂=5，S₄=14，
所以：$\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}+{a}_{2}=5\\{S}_{4}=14\end{array}\right.$，
整理得：$\left\{\begin{array}{l}2{a}_{1}+d=5\\ 2{a}_{1}+3d=7\end{array}\right.$
解得：a₁=2，d=1，
所以：a_n=2+n-1=n+1．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）解得：a_n=n+1，
所以：${b}_{n}={2}^{n+1}$
则：T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}=4（{2}^{n}-1）$

点评 本题考查的知识要点：等差数列和等比数列通项公式的求法，等差数列和等比数列前n项和公式的应用．