Question

15．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=1-$\frac{1}{4{a}_{n}}$，b_n=$\frac{2}{2{a}_{n}-1}$，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=$\frac{{4{a_n}}}{n+1}$，数列{c_nc_n+2}的前n项和为T_n，是否存在正整数m，使得T_n＜$\frac{1}{{{c_m}{c_{m+1}}}}$对于n∈N^*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由a_n+1=1-$\frac{1}{4{a}_{n}}$，b_n=$\frac{2}{2{a}_{n}-1}$，作差代入b_n+1-b_n=$\frac{2}{2{a}_{n+1}-1}$-$\frac{2}{2{a}_{n}-1}$=2，再利用等差数列的通项公式即可得出b_n，进而得出a_n．
（II）c_n=$\frac{{4{a_n}}}{n+1}$=$\frac{2}{n}$，可得c_nc_n+2=$\frac{4}{n（n+2）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂项求和”可得：数列{c_nc_n+2}的前n项和为T_n=2$（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，假设存在正整数m，使得T_n＜$\frac{1}{{{c_m}{c_{m+1}}}}$对于n∈N^*恒成立，化为$\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{（n+1）（n+2）}$＜$\frac{m（m+1）}{8}$，利用数列的单调性即可得出．

解答 （I）证明：∵a_n+1=1-$\frac{1}{4{a}_{n}}$，b_n=$\frac{2}{2{a}_{n}-1}$，
∴b_n+1-b_n=$\frac{2}{2{a}_{n+1}-1}$-$\frac{2}{2{a}_{n}-1}$=$\frac{2}{2×（1-\frac{1}{4{a}_{n}}）-1}$-$\frac{2}{2{a}_{n}-1}$=$\frac{4{a}_{n}}{2{a}_{n}-1}$-$\frac{2}{2{a}_{n}-1}$=$\frac{2（2{a}_{n}-1）}{2{a}_{n}-1}$=2，
∴数列{b_n}是等差数列，首项为${b}_{1}=\frac{2}{2{a}_{1}-1}$=2，公差为2，
∴b_n=2+2（n-1）=2n．
∴$\frac{2}{2{a}_{n}-1}$=2n，解得a_n=$\frac{n+1}{2n}$．
（II）解：c_n=$\frac{{4{a_n}}}{n+1}$=$\frac{2}{n}$，
∴c_nc_n+2=$\frac{4}{n（n+2）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴数列{c_nc_n+2}的前n项和为T_n=$2[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=2$（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，
假设存在正整数m，使得T_n＜$\frac{1}{{{c_m}{c_{m+1}}}}$对于n∈N^*恒成立，
∴2$（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$＜$\frac{m（m+1）}{4}$，
化为$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{（n+1）（n+2）}$＜$\frac{m（m+1）}{8}$，
由于数列$\{\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{（n+1）（n+2）}\}$是单调递增数列，
∴$\frac{3}{2}$≤$\frac{m（m+1）}{8}$，
化为m²+m-12≥0，
解得-4≥m，或m≥3，
因此存在正整数m，其最小值为3，使得T_n＜$\frac{1}{{{c_m}{c_{m+1}}}}$对于n∈N^*恒成立．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推式的应用、“裂项求和”、数列的单调性，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．