Question

6．若向量$\overrightarrow{a}$=（x，y-1）与$\overrightarrow{b}$=（3，-2）共线，则z=log₂（4^x+8^y）的最小值为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$=（x，y-1）与$\overrightarrow{b}$=（3，-2）共线，可知2x+3y=3，利用不等式得4^x+8^y≥${2}^{\frac{5}{2}}$，再结合函数y=log₂x的单调性可得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（x，y-1）与$\overrightarrow{b}$=（3，-2）共线，
∴3（y-1）=-2x，即2x+3y=3，
∴4^x+8^y=2^2x+2^3y≥2$\sqrt{{2}^{2x+3y}}$=$2×{2}^{\frac{3}{2}}$=${2}^{\frac{5}{2}}$，
当且仅当2x=3y时等号成立，
所以z=log₂（4^x+8^y）≥$lo{g}_{2}{2}^{\frac{5}{2}}$=$\frac{5}{2}$，
即答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查向量平行、指数式的变形、基本不等式及对数函数的单调性，属于中档题．