Question

16．负项等比数列{a_n}的首项是a₁，公比为q（q≠1），前n项和为S_n，且5S₂=4S₄，且b_n=q+S_n，若数列{b_n}成等比数列，则当T_n=2qb_n²+a₁b_n+1取得最小值时n的值为2．

Answer 1

分析 由题意易得公比q=$\frac{1}{2}$，进而可得b_n的通项公式，代入T_n，由二次函数的最值可得．

解答 解：由题意可得$\frac{5{a}_{1}（1-{q}^{2}）}{1-q}$=$\frac{4{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$，解得q=$\frac{1}{2}$或q=-$\frac{1}{2}$，
显然当q=-$\frac{1}{2}$时，数列不是负项等比数列，应舍去，∴q=$\frac{1}{2}$，
∴b_n=q+S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$+（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）a₁，
∴b₁=$\frac{1}{2}$+a₁，b₂=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$a₁，b₃=$\frac{1}{2}$+$\frac{7}{4}$a₁，
∵数列{b_n}成等比数列，∴b₂²=b₁b₃，
代入可得（$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$a₁）²=（$\frac{1}{2}$+a₁）（$\frac{1}{2}$+$\frac{7}{4}$a₁）
解得a₁=-$\frac{1}{4}$，∴b_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2qb_n²+a₁b_n+1=（$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）²-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）+1，
由二次函数的知识可知当$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=$-\frac{-\frac{1}{4}}{2×1}$=$\frac{1}{{2}^{3}}$即n=2时T_n取最小值．
故答案为：2

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及二次函数的最值，属中档题．