Question

8．如图所示，抛物线C：y²=2px（p＞0）与直线AB：y=$\frac{1}{2}$x+b相切于点A．
（1）求p，b满足的关系式，并用p表示点A的坐标；
（2）设F是抛物线的焦点，若以F为直角顶角的Rt△AFB的面积等于25，求抛物线C的标准方程．

Answer 1

分析 （1）由抛物线方程得到抛物线在第一象限部分的函数式，求其导函数，由导数值等于$\frac{1}{2}$得到A的横坐标，代入切线方程和抛物线方程得到p，b的关系，进一步求得A的坐标；
（2）求出AF的距离，写出BF所在直线方程，与切线方程联立求得B的坐标，得到BF的长度，代入三角形面积公式求得p，则抛物线方程可求．

解答 解：（1）由y²=2px，得$y=\sqrt{2px}$，∴${y}^{′}=\frac{\sqrt{2p}}{2\sqrt{x}}$，
由$\frac{\sqrt{2p}}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}$，解得：x=2p，
把x=2p分别代入y=$\frac{1}{2}$x+b与$y=\sqrt{2px}$，得p+b=2p，
∴b=p，则点A的纵坐标为y=$\frac{1}{2}$x+b=2p
则A的坐标为（2p，2p）；
（2）抛物线的焦点F（$\frac{p}{2}，0$），则$|AF|=\sqrt{（2p-\frac{P}{2}）^{2}+（2p-0）^{2}}=\frac{5}{2}p$，
${k}_{AF}=\frac{2p-0}{2p-\frac{p}{2}}=\frac{4}{3}$，∴${k}_{BF}=-\frac{3}{4}$，
则直线BF的方程为y-0=$-\frac{3}{4}（x-\frac{p}{2}）$，即$y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{8}p$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{8}p}\\{y=\frac{1}{2}x+p}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{p}{2}}\\{y=\frac{3}{4}p}\end{array}\right.$，即：B（$-\frac{p}{2}，\frac{3}{4}p$）．
∴|BF|=$\sqrt{（-\frac{p}{2}-\frac{p}{2}）^{2}+（\frac{3}{4}p-0）^{2}}=\frac{5p}{4}$．
∴${S}_{△AFB}=\frac{1}{2}•\frac{5}{2}p•\frac{5}{4}p=25$，即p=4．
∴抛物线C的标准方程为y²=8x．

点评 本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．考查了考生对基础知识的综合运用和知识迁移的能力，是中档题．