Question

17．给出下列几个命题：
①设a=lge，b=（lge）²，c=lg$\sqrt{e}$，则b＜c＜a；
②“0＜a≤$\frac{1}{5}$”是“函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数”的充分必要条件；
③已知平面向量α，β（α≠0，α≠β），满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则|α|的取值范围是（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]；
④在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c其外接圆的半径R=$\frac{5\sqrt{6}}{36}$，则（a²+b²+c²）（$\frac{1}{si{n}^{2}A}$$+\frac{1}{si{n}^{2}B}$$+\frac{1}{si{n}^{2}C}$）的最小值为$\frac{25}{6}$．
其中正确命题为①④（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 运用对数函数的单调性即可判断①；由二次函数的单调性和充分必要定义，即可判断②；
由平面向量的夹角和向量的模的定义，结合正弦定理，即可判断③；
运用正弦定理和三元均值不等式，即可求得最小值，进而判断④．

解答 解：对于①，由于0＜lge＜1，a-b=lge（1-lge）＞0，则a＞b，b-c=lge（lge-$\frac{1}{2}$）=lge•lg$\frac{e}{\sqrt{10}}$＜0，
即b＜c，又a-c=$\frac{1}{2}$lge＞0，即a＞c，则有b＜c＜a，故①对；
对于②，函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数，当a=0时，f（x）=2-2x
在区间（-∞，4]上为减函数，当a＞0，且-$\frac{2（a-1）}{2a}$≥4，即为0＜a$≤\frac{1}{5}$时，f（x）在区间（-∞，4]上为减函数，即有“0≤a≤$\frac{1}{5}$”是“函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数”的充分必要条件，故②错；
对于③，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{β}$，即有$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{β}$$-\overrightarrow{α}$，在△OAB中，∠A=60°，OB=1，由正弦定理可得，
$\frac{OB}{sin60°}$=$\frac{OA}{sin∠B}$，由∠B≠60°，0°＜∠B＜120°，即0＜OA•$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤1且OA≠1，解得0＜|$\overrightarrow{α}$|≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，且|$\overrightarrow{α}$|≠1，故③错；
对于④，由正弦定理可得，sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{b}{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，则（a²+b²+c²）（$\frac{1}{si{n}^{2}A}$$+\frac{1}{si{n}^{2}B}$$+\frac{1}{si{n}^{2}C}$）
=4R²（a²+b²+c²）（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$）≥4R²•3$\root{3}{{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}$•3$\root{3}{\frac{1}{{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}}$=36R²=$\frac{25}{6}$，当且仅当a=b=c取得等号，
故④对．
故答案为：①④．

点评 本题考查对数函数的性质及运用、函数的单调性的运用、充分必要条件的判断和向量的夹角和模的范围以及正弦定理和均值不等式的应用，考查运算能力，属于中档题和易错题．