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    7．已知4≤a+c≤8，ac=4，求$\frac{a}{c（c+a）}$+$\frac{c}{a（a+c）}$的取值范围．

    分析 化简$\frac{a}{c（c+a）}$+$\frac{c}{a（a+c）}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{ac（a+c）}$=$\frac{（a+c）^{2}-8}{4（a+c）}$=$\frac{（a+c）}{4}$-$\frac{8}{a+c}$，从而由函数的单调性求取值范围．

    解答 解：$\frac{a}{c（c+a）}$+$\frac{c}{a（a+c）}$
    =$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{ac（a+c）}$
    =$\frac{（a+c）^{2}-8}{4（a+c）}$
    =$\frac{（a+c）}{4}$-$\frac{8}{a+c}$，
    又∵y=$\frac{x}{4}$-$\frac{8}{x}$在[4，8]上是增函数，
    ∴-1≤$\frac{（a+c）}{4}$-$\frac{8}{a+c}$≤1；
    故$\frac{a}{c（c+a）}$+$\frac{c}{a（a+c）}$的取值范围为[-1，1]．

    点评 本题考查了表达式的化简与函数的单调性的应用，属于基础题．

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    17．已知函数f（x）=$\frac{2}{3}{x^3}-2a{x^2}$-3x（a∈R）．
    （Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
    （Ⅱ）当a＞0时，试讨论函数y=f（x）在区间（-1，1）内的极值点的个数；
    （Ⅲ）对一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a2x≥lnx-3a-1恒成立，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    18．已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（　　）
    A．$2\sqrt{2}$B．4C．$3\sqrt{3}$D．6

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    15．已知数列{an}满足a1=1，an+1=1-$\frac{1}{4{a}_{n}}$，bn=$\frac{2}{2{a}_{n}-1}$，其中n∈N*．
    （Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）设cn=$\frac{{4{a_n}}}{n+1}$，数列{cncn+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn＜$\frac{1}{{{c_m}{c_{m+1}}}}$对于n∈N*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    2．已知x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+5≥0}\\{x+y≥0}\\{x≤3}\end{array}\right.$，则z=$\frac{y-1}{x+3}$的最大值是3．

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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    12．已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，作直线AC⊥l，现给出下列四个判断：（1）AC与l相交，（2）AC⊥α，（3）AC⊥β，（4）AC∥β．则可能成立的个数为（　　）
    A．1B．2C．3D．4

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    19．曲线|x|+y2-3y=0的对称轴方程是x=0，y的取值范围是[0，3]．

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    16．负项等比数列{an}的首项是a1，公比为q（q≠1），前n项和为Sn，且5S2=4S4，且bn=q+Sn，若数列{bn}成等比数列，则当Tn=2qbn2+a1bn+1取得最小值时n的值为2．

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    17．给出下列几个命题：
    ①设a=lge，b=（lge）2，c=lg$\sqrt{e}$，则b＜c＜a；
    ②“0＜a≤$\frac{1}{5}$”是“函数f（x）=ax2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数”的充分必要条件；
    ③已知平面向量α，β（α≠0，α≠β），满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则|α|的取值范围是（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]；
    ④在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c其外接圆的半径R=$\frac{5\sqrt{6}}{36}$，则（a2+b2+c2）（$\frac{1}{si{n}^{2}A}$$+\frac{1}{si{n}^{2}B}$$+\frac{1}{si{n}^{2}C}$）的最小值为$\frac{25}{6}$．
    其中正确命题为①④（写出所有正确命题的序号）．

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