Question

17．已知函数f（x）=$\frac{2}{3}{x^3}-2a{x^2}$-3x（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，试讨论函数y=f（x）在区间（-1，1）内的极值点的个数；
（Ⅲ）对一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a²x≥lnx-3a-1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）当a=0时，y=f（x）=$\frac{2}{3}{x}^{3}$-3x，f′（x）=2x²-3，可得f′（3）即为切线地方斜率，又f（3）=9，利用点斜式即可得出切线的方程；
（II）当a＞0时，f′（x）=2x²-4ax-3，△=16a²+24＞0，由f′（x）=0，解得x₁=$\frac{2a-\sqrt{4{a}^{2}+6}}{2}$＜0，${x}_{2}=\frac{2a+\sqrt{4{a}^{2}+6}}{2}$＞1．由x₁＞-1，解得$a＞\frac{1}{4}$，对a分类讨论即可得出函数的极值情况．
（III）对一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a²x≥lnx-3a-1恒成立?$a≥\frac{lnx-1}{2{x}^{2}}$（x＞0）．令g（x）=$\frac{lnx-1}{2{x}^{2}}$，x＞0，利用导数研究函数g（x）的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（I）当a=0时，y=f（x）=$\frac{2}{3}{x}^{3}$-3x，
f′（x）=2x²-3，∴f′（3）=15，
f（3）=9，
∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为y-9=15（x-3），化为15x-y-36=0．
（II）当a＞0时，f′（x）=2x²-4ax-3，△=16a²+24＞0，
由f′（x）=0，解得$x=\frac{2a±\sqrt{4{a}^{2}+6}}{2}$．取x₁=$\frac{2a-\sqrt{4{a}^{2}+6}}{2}$＜0，${x}_{2}=\frac{2a+\sqrt{4{a}^{2}+6}}{2}$＞1．
由x₁＞-1，解得$a＞\frac{1}{4}$．
因此，当a＞$\frac{1}{4}$时，由f′（x）=0，解得x=x₁，
∴当a$＞\frac{1}{4}$时，当x∈（-1，x₁）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x（x₁，0）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
此时函数f（x）取得极大值，只有一个．
当0$＜a≤\frac{1}{4}$时，f′（x）≤0，此时函数f（x）在区间（-1，1）内单调递减，无极值点．
综上可得：当a＞$\frac{1}{4}$时，此时函数f（x）在区间（-1，1）内取得一个极大值．
当0$＜a≤\frac{1}{4}$时，f（x）在区间（-1，1）内无极值点．
（III）对一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a²x≥lnx-3a-1恒成立?$a≥\frac{lnx-1}{2{x}^{2}}$（x＞0）．
令g（x）=$\frac{lnx-1}{2{x}^{2}}$，x＞0，g′（x）=$\frac{3-2lnx}{2{x}^{3}}$，
令g′（x）＞0，解得$0＜x＜{e}^{\frac{3}{2}}$，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得$x＞{e}^{\frac{3}{2}}$，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=${e}^{\frac{3}{2}}$时，函数g（x）取得最大值，g（x）_max=$\frac{\frac{3}{2}-1}{2{e}^{3}}$=$\frac{1}{4{e}^{3}}$．
∴$a≥\frac{1}{4{e}^{3}}$．
∴实数a的取值范围是$[\frac{1}{4{e}^{3}}，+∞）$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．