Question

7．在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，AB=2，AC=1，E，F为BC的三等分点，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=$\frac{10}{9}$．

Answer 1

分析 根据题意，得到三角形为直角三角形，由$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$求出$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$，即可求出$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的值．

解答 解：由于在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，
则∠BAC=90°，
由于E，F为BC的三等分点，
则$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$，
又有$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF}$，
则$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，
又由AB=2，AC=1，
故$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=$\frac{2}{9}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{2}{9}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{10}{9}$
故答案为：$\frac{10}{9}$．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，熟练掌握向量的运算法则和数量积运算是解题的关键．