Question

2．已知函数f（x）=$\frac{ax+2-a}{x+1}$，其中a∈R．
（1）当函数f（x）的图象关于点P（-1，3）成中心对称时，求a的值；
（2）若函数f（x）在（-1，+∞）上单调递减，求a的取值范围；
（3）若a=2，求函数f（x）在区间（-∞，-2）上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的图象关于点P（-13）成中心对称，y=f（x-1）-3是奇函数，求出a的值；
（2）化简函数f（x），根据f（x）在（-1，+∞）上的单调性，求出a的取值范围；
（3）根据a=2时f（x）的单调性，求出f（x）在区间（-∞，-2）上的值域．

解答 解：（1）∵“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称”的充要条件为：
“函数y=f（x+a）-b是奇函数”，
∴当f（x）的图象关于点P（-1，3）成中心对称时，
y=f（x-1）-3=$\frac{a（x-1）+2-a}{（x-1）+1}$-3=（a-3）+$\frac{2-2a}{x}$是奇函数，
∴a-3=0，解得a=3；
（2）∵函数f（x）=$\frac{ax+2-a}{x+1}$
=$\frac{a（x+1）+2-2a}{x+1}$
=a+$\frac{2-2a}{x+1}$，
当f（x）在（-1，+∞）上单调递减时，
2-2a＞0，
解得a＜1，
∴a的取值范围是（-∞，1）；
（3）当a=2时，f（x）=$\frac{2x+2-2}{x+1}$=2-$\frac{2}{x+1}$，
函数f（x）在区间（-∞，-2）上是单调减函数，
∴2＜f（x）＜2-$\frac{2}{-2+1}$，
即2＜f（x）＜4，
∴函数f（x）的值域是（2，4）．

点评 本题考查了函数的单调性与对称性的应用问题，也考查了求函数在某一区间上的值域的应用问题，是基础题目．