Question

12．已知a是常数，f（x）=x²+2|x-1|+3，对任意实数x，不等式f（x）≥a都成立
（Ⅰ）求a的取值范围
（Ⅱ）对任意实数x，求证：|x+3|≥a-|x-1|

Answer 1

分析 （Ⅰ）将f（x）写成分段函数，求出函数的最小值，即可得到a的取值范围；
（Ⅱ）根据绝对值的几何意义，即可得到|x+3|+|x-1|≥|（x+3）-（x-1）|，再由（Ⅰ），即得证．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+2|x-1|+3=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+1，x≥1}\\{{x}^{2}-2x+5，x＜1}\end{array}\right.$，
∴当x≥1时，f（x）≥f（1）=4；当x＜1时，f（x）＞4；
∴f（x）的最小值为4，
∵对任意实数x，不等式f（x）≥a都成立，∴a≤4，
∴a的取值范围为（-∞，4]；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得a≤4，
∵|x+3|+|x-1|≥|（x+3）-（x-1）|=4，
∴|x+3|+|x-1|≥a，
∴|x+3|≥a-|x-1|．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法和其几何意义的运用，属于基础题．