Question

10．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x+2y≥4\\ 2x+y≤4\end{array}\right.$所表示的平面区域为D，则区域D的面积为$\frac{4}{3}$；若直线y=ax-1与区域D有公共点，则a的取值范围是[$\frac{7}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据线性规划的性质即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
则对应的区域为三角形ABC，
其中A（0，2），B（0，4），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=4}\\{2x+y=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，即C（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×（4-2）×$$\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$，
直线y=ax-1过定点E（0，-1），
要使线y=ax-1与区域D有公共点，
则满足C在直线的下方或通过点C，
此时$\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$a-1，
解得a=$\frac{7}{4}$．则满足a≥$\frac{7}{4}$．，
故答案为：$\frac{4}{3}；[\frac{7}{4}，+∞）$

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．