Question

1．已知△ABC的面积为2，且满足0＜$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$≤4，设$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的夹角为θ
（1）求tanθ的取值范围
（2）求函数f（θ）=2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-$\sqrt{3}$cos2θ的最值．

Answer 1

分析 （1）由数量积和三角形的面积公式可得tanθ的范围；
（2）化简可得f（θ）=1+2sin（2θ-$\frac{π}{3}$），由θ的范围和三角函数公式可得答案．

解答 解：（1）由题意可得$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=cbcosθ，
∵△ABC的面积为2，∴$\frac{1}{2}$bcsinθ=2，变形可得cb=$\frac{4}{sinθ}$，
∴$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=cbcosθ=$\frac{4cosθ}{sinθ}$=$\frac{4}{tanθ}$，
由0＜$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$≤4，可得0＜$\frac{4}{tanθ}$≤4，
解得tanθ≥1；
（2）化简可得f（θ）=2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-$\sqrt{3}$cos2θ
=2×$\frac{1-cos（\frac{π}{2}+2θ）}{2}$-$\sqrt{3}$cos2θ
=1+sin2θ-$\sqrt{3}$cos2θ
=1+2sin（2θ-$\frac{π}{3}$），
由（1）知tanθ≥1，又∵0＜θ＜π，
∴θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），所以2θ$-\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），
∴sin（2θ$-\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴1+2sin（2θ$-\frac{π}{3}$）∈[2，3]，
∴f（θ）的取值范围为：[2，3]．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的数量积和三角函数的值域，属中档题．