Question

1．已知数列{a_n}满足a₁=2，na_n+（n+1）a_n-1=0，x∈N^*，且n≥2，则数列{$\frac{{a}_{n}}{（2n+1）（2n+3）}$}的前10项和为（　　）

• A． $\frac{5}{69}$
• B． $\frac{10}{69}$
• C． $\frac{20}{69}$
• D． $\frac{25}{69}$

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=2，na_n+（n+1）a_n-1=0，n∈N^*，且n≥2，可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=-\frac{n+1}{n}$．利用“累乘求积”可得：a_n=（-1）^n-1•（n+1）.$\frac{{a}_{n}}{（2n+1）（2n+3）}$=$（-1）^{n-1}•\frac{1}{4}（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）$．再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：数列{a_n}满足a₁=2，na_n+（n+1）a_n-1=0，n∈N^*，且n≥2，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=-\frac{n+1}{n}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=（-1）^n-1•$\frac{n+1}{n}$$•\frac{n}{n-1}$•…•$\frac{4}{3}$•$\frac{3}{2}$•2
=（-1）^n-1•（n+1）．
∴$\frac{{a}_{n}}{（2n+1）（2n+3）}$=$（-1）^{n-1}•\frac{1}{4}（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）$．
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{（2n+1）（2n+3）}$}的前10项和=$\frac{1}{4}$$[（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）-（\frac{1}{5}+\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{19}+\frac{1}{21}）$-$（\frac{1}{21}+\frac{1}{23}）]$
=$\frac{1}{4}（\frac{1}{3}-\frac{1}{23}）$
=$\frac{5}{69}$．
故选：A．

点评 本题考查了“累乘求积”、“裂项求和”方法，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．