Question

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足$\frac{sinA}{sinB+sinC}+\frac{sinC}{sinA+sinB}$≥1，则角B的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{π}{6}$]
• B． （0，$\frac{π}{3}$]
• C． [$\frac{π}{3}，π$）
• D． [$\frac{π}{6}，π$）

Answer 1

分析 由正弦定理化简已知，整理可得：a²+c²-b²≥ac，由余弦定理可解得cosB≥$\frac{1}{2}$，结合B为三角形内角即可解得B的取值范围．

解答 解：∵$\frac{sinA}{sinB+sinC}+\frac{sinC}{sinA+sinB}$≥1，
∴由正弦定理可得：$\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}≥1$，整理可得：a²+c²-b²≥ac，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$≥$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴由B为三角形内角可得：B∈（0，$\frac{π}{3}$]，
故选：B．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，由正弦定理进行边角互化是解题的关键，属于基本知识的考查．