Question

1．已知函数y=f（x）=$\frac{x+2}{{x}^{2}+x+1}$（x＞-2），求$\frac{1}{y}$的取值范围和此函数的单调区间．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{1}{y}$=（x+2）+$\frac{3}{x+2}$-3，由基本不等式可得取值范围，由“对勾函数”的单调性可得函数的单调区间．

解答 解：∵x＞-2，∴x+2＞0，
∵y=f（x）=$\frac{x+2}{{x}^{2}+x+1}$，
∴$\frac{1}{y}$=$\frac{{x}^{2}+x+1}{x+2}$=$\frac{（x+2）^{2}-3（x+2）+3}{x+2}$
=（x+2）+$\frac{3}{x+2}$-3≥2$\sqrt{3}$-3，
当且仅当（x+2）=$\frac{3}{x+2}$即x=$\sqrt{3}$-2时取等号，
∴$\frac{1}{y}$的取值范围为[2$\sqrt{3}$-3，+∞），
令x+2=t，$\frac{1}{y}$=t+$\frac{3}{t}$-3，
由“对勾函数”的单调性可知$\frac{1}{y}$=t+$\frac{3}{t}$-3在t∈（0，$\sqrt{3}$）单调递减，在t∈（$\sqrt{3}$，+∞）单调递增，
∴函数的单调递减区间为（-2，$\sqrt{3}$-2），单调递增区间为（$\sqrt{3}$-2，+∞）

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及“对勾函数”的单调性和最值，属中档题．