Question

9．设点p（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a＞0，b＞0）上的动点，且满足$\sqrt{x^2+y^2+2y+1}$+$\sqrt{x^2+y^2-2y+1}$≤2$\sqrt{2}$，则a+$\sqrt{2}$b的取值范围为（　　）

• A． [2，+∞）
• B． [1，2]
• C． [1，+∞）
• D． （0，2]

Answer 1

分析 由a|x|+b|y|=1（a＞0，b＞0）．分类讨论：当x，y≥0时，化为ax+by=1；当x≥0，y≤0时，化为ax-by=1；当x≤0，y≥0时，化为-ax+by=1；当x≤0，y≤0时，化为-ax-by=1．画出图象：其轨迹为四边形ABCD．$\sqrt{x^2+y^2+2y+1}$+$\sqrt{x^2+y^2-2y+1}$≤2$\sqrt{2}$，变形为$\sqrt{{x}^{2}+（y+1）^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$$≤2\sqrt{2}$，上式表示点M（0，1），N（0，-1）与图象上的点P的距离之和≤2$\sqrt{2}$．可得$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{1+\frac{1}{{a}^{2}}}≤2\sqrt{2}}\\{\frac{2}{b}≤2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：由a|x|+b|y|=1（a＞0，b＞0）．
分类讨论：当x，y≥0时，化为ax+by=1；当x≥0，y≤0时，化为ax-by=1；
当x≤0，y≥0时，化为-ax+by=1；当x≤0，y≤0时，化为-ax-by=1．画出图象：其轨迹为四边形ABCD．
$\sqrt{x^2+y^2+2y+1}$+$\sqrt{x^2+y^2-2y+1}$≤2$\sqrt{2}$，变形为$\sqrt{{x}^{2}+（y+1）^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$$≤2\sqrt{2}$，
上式表示点M（0，1），N（0，-1）与图象上的点P的距离之和≤2$\sqrt{2}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{1+\frac{1}{{a}^{2}}}≤2\sqrt{2}}\\{\frac{2}{b}≤2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，化为$b≥\frac{\sqrt{2}}{2}$，a≥1．
∴a+$\sqrt{2}$b≥1+$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，
同理b≥1时也成立．
其取值范围为[2，+∞），
故选：A．

点评 本题考查了直线的方程、两点之间的距离公式应用、不等式的性质，考查了分类讨论思想方法、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．