Question

4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：x²+y²=4，圆C₂：（x-2）²+y²=4．
（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C₁与圆C₂的极坐标方程及两圆交点的极坐标；
（Ⅱ）求圆C₁与圆C₂的公共弦的参数方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先把直角坐标方程转化成极坐标方程，进一步建立极坐标方程组求出交点坐标，再转化成极坐标．
（Ⅱ）利用二元二次方程组解得交点坐标再转化成参数方程．

解答 解：（Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：x²+y²=4，
转化成极坐标方程为：ρ=2．
圆C₂：（x-2）²+y²=4．
转化成极坐标方程为：ρ=4cosθ，
所以：$\left\{\begin{array}{l}ρ=2\\ ρ=4cosθ\end{array}\right.$
解得：ρ=2，$θ=2kπ±\frac{π}{3}$，（k∈Z）．
交点坐标为：（2，2kπ+$\frac{π}{3}$），（2，2k$π-\frac{π}{3}$）．
（Ⅱ）已知圆C₁：x²+y²=4①
圆C₂：（x-2）²+y²=4②
所以：①-②得：x=1，y=$±\sqrt{3}$，
即（1，-$\sqrt{3}$），（1，$\sqrt{3}$）．
所以公共弦的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=t（-\sqrt{3}≤t≤\sqrt{3}）\end{array}\right.$．

点评 本题考查的知识要点：直角坐标方程和极坐标方程的互化，直角坐标和极坐标之间的互化，解二元二次方程组，直角坐标方程与参数方程之间的互化．