Question

8．在函数f（x）=alnx-（x-1）²的图象上，横坐标在区间（1，2）内变化的点处的切线斜率均大于1，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． [6，+∞）
• D． （6，+∞）

Answer 1

分析 求出函数的导数，由题意可得$\frac{a}{x}$-2（x-1）＞1对x∈（1，2）恒成立．即有a＞x（2x-1）对x∈（1，2）恒成立．令f（x）=2x²-x，运用二次函数的值域求法，可得f（x）在（1，2）的值域，即可得到a的范围．

解答 解：函数f（x）=alnx-（x-1）²的导数为f′（x）=$\frac{a}{x}$-2（x-1），
由横坐标在区间（1，2）内变化的点处的切线斜率均大于1，
可得$\frac{a}{x}$-2（x-1）＞1对x∈（1，2）恒成立．
即有a＞x（2x-1）对x∈（1，2）恒成立．
令f（x）=2x²-x，对称轴x=$\frac{1}{4}$，
区间（1，2）为增区间，即有1＜f（x）＜6．
则有a≥6．
故选：C．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义，不等式恒成立问题转化为求函数的最值或范围，属于中档题．