Question

17．设实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+1≥0}\\{x+3y-3≥0}\\{x+y-2≤0}\end{array}\right.$，则z=$\frac{y}{x+1}$的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{5}$，1]
• B． [$\frac{1}{5}$，$\frac{5}{4}$]
• C． [$\frac{1}{6}$，$\frac{3}{2}$]
• D． [$\frac{1}{6}$，$\frac{5}{4}$]

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
z=$\frac{y}{x+1}$的几何意义为区域内的点到定点D（-1，0）的斜率，
由图象知AD的斜率最大，BD的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+1=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{3}$），此时z=$\frac{\frac{5}{3}}{\frac{1}{3}+1}$=$\frac{5}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-3=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{3}{2}，\frac{1}{2}$），此时z=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}+1}$=$\frac{1}{5}$，
故z=$\frac{y}{x+1}$的取值范围是[$\frac{1}{5}$，$\frac{5}{4}$]，
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及直线斜率公式是解决本题的关键．