Question

2．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：

	支持	不支持	合计
中型企业	80	40	120
小型企业	240	200	440
合计	320	240	560

（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？
（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．
附：
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.050	0.025	0.010
k0	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K²的值，从临界值表中可以知道K²＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；
（Ⅱ）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X的分布列和期望．

解答 解：（Ⅰ）K²=$\frac{560（80×200-40×240）2}{120×440×320×240}$≈5.657，
因为5.657＞5.024，
所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．
设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，
X的可能取值为90，130，170，210．…（6分）
P（X=90）=$\frac{1}{220}$，P（X=130）=$\frac{27}{220}$，
P（X=170）=$\frac{108}{220}$，P（X=210）=$\frac{84}{220}$，…（10分）
分布列表如下：

X	90	130	170	210
P	$\frac{1}{220}$	$\frac{27}{220}$	$\frac{108}{220}$	$\frac{84}{220}$

期望EX=90×$\frac{1}{220}$+130×$\frac{27}{220}$+170×$\frac{108}{220}$+210×$\frac{84}{220}$=180．…（12分）

点评 本题考查独立性检验的应用，考查X的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．