Question

7．对于自然数N^*的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{1，2，4，6，9}的交替和是9-6+4-2+1=6；则集合{1，2，3，4，5，6，7}的所有非空子集的交替和的总和为448．

Answer 1

分析 根据“交替和”的定义：求出S₂、S₃、S₄，并根据其结果猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S_n即可．

解答 解：由题意，S₂表示集合N={1，2}的所有非空子集的“交替和”的总和，
又{1，2}的非空子集有{1}，{2}，{2，1}，∴S₂=1+2+2-1=4；
S₃=1+2+3+（2-1）+（3-1）+（3-2）+（3-2+1）=12，
S₄=1+2+3+4+（2-1）+（3-1）+（4-1）+（3-2）+（4-2）+（4-3）+（3-2+1）+（4-2+1）+（4-3+1）+（4-3+2）+（4-3+2-1）=32，
∴根据前4项猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S_n=n•2^n-1，
所以S₇=7×2^7-1=7×2⁶=448，
故答案为：448．

点评 本题主要考查了数列的应用，同时考查了归纳推理的能力．