Question

12．已知圆C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cost+1\\ y=2sint\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C₂的极坐标方程为ρ=8cos（θ-$\frac{π}{3}$）
（Ⅰ）把圆C₁的参数方程化为普通方程，圆C₂极坐标方程化为直角坐标方程
（Ⅱ）判断圆C₁与C₂是否相交，求公共弦的长度，若不相交，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先把圆的参数方程和极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步求出圆心和半径．
（Ⅱ）利用圆的圆心距和半径之间的关系式，求出两圆的位置关系，进一步利用点到直线的距离，最后求出公共弦长．

解答 解：（Ⅰ）圆C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cost+1\\ y=2sint\end{array}\right.$（t为参数），
转化成直角坐标方程为：（x-1）²+y²=4①，
所以圆C₁的方程是以A（1，0）为圆心，2为半径的圆．
圆C₂的极坐标方程为ρ=8cos（θ-$\frac{π}{3}$），整理为：
${ρ}^{2}=4ρcos+4\sqrt{3}ρsinθ$，
转化成直角坐标方程为：${x}^{2}+{y}^{2}=4x+4\sqrt{3}y$，
整理成标准式为：$（x-2）^{2}+（y-2\sqrt{3}）^{2}=16$；
②所以圆C₂的方程是以B（2，2$\sqrt{3}$）为圆心，4为半径的圆．
（Ⅱ）所以：|AB|=$\sqrt{1+（2\sqrt{3}）^{2}}=\sqrt{13}$，
所以：2＜|AB|＜6，
两圆的位置关系为相交．
利用①-②得：2x+4$\sqrt{3}$y-3=0，
所以：A（1，0）到直线的距离为：d=$\frac{1}{2\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{13}}{26}$，
所截得弦长为：$l=2\sqrt{4-\frac{1}{52}}=\frac{3\sqrt{299}}{13}$．

点评 本题考查的知识要点：曲线的参数方程与极坐标方程与直角坐标方程的互化，两圆间的位置关系的判定，点到直线距离公式的应用．