Question

3．曲线x²+y²=6与曲线y=ax²+1交点处的切线互相垂直，则正数a的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设出交点，求得切点处的切线的斜率，由两条切线互相垂直：斜率之积等于-1，得到方程，结合切点在两曲线上，满足曲线方程，解方程组，即可解出a的值．

解答 解：圆x²+y²=6与抛物线y=ax²+1恒有两个交点，
由对称性，设交点为P（m，n），Q（-m，n），（m＞0），
过圆上一点P的切线的斜率为k₁=-$\frac{m}{n}$，
由y=ax²+1的导数为y′=2ax，
可得在P处的切线的斜率为k₂=2am，
由交点处的切线互相垂直可得，
2am•（-$\frac{m}{n}$）=-1，
又m²+n²=6，n=am²+1．
解得a=$\frac{1}{2}$，m=$\sqrt{2}$，n=2．
故答案为：$\frac{1}{2}$..

点评 本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，属于中档题．