Question

14．已知（2x-1）ⁿ展开式中，奇次项系数和比偶次项系数的和小3⁸，求C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+C${\;}_{n}^{3}$+…+C${\;}_{n}^{n}$的值．

Answer 1

分析 利用（2x-1）ⁿ展开式中，奇次项系数和比偶次项系数的和小3⁸，可得n，即可求C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+C${\;}_{n}^{3}$+…+C${\;}_{n}^{n}$的值．

解答 解：设（2x-1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ．且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B．
则：A=a₁+a₃+a₅+…，B=a₀+a₂+a₄+…
由已知可知：B-A=3⁸．
令x=-1，得：a₀-a₁+a₂+…+（-1）ⁿa_n=（-3）ⁿ，
即B-A=3ⁿ，∴n=8．
由二项式系数性质可得：C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+C${\;}_{n}^{3}$+…+C${\;}_{n}^{n}$=2⁸-1=255．

点评 本题考查二项式定理的运用，考查二项式系数性质，正确赋值，求出n是关键．