Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1=2a_n+3（n∈N⁺）
（1）设b_n=a_n+3（n∈N⁺），求证{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）首先对数列的递推关系式进行恒等变换，进一步求出数列是等比数列．
（2）利用等比数列进一步求出数列的通项公式，在求出数列的前n项和．

解答 解：（1）数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1=2a_n+3（n∈N⁺）
则：a_n+1+3=2（a_n+3），
即：$\frac{{a}_{n+1}+3}{{a}_{n}+3}=2$（常数），
由于设b_n=a_n+3（n∈N⁺），
所以：$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=2$，
数列{b_n}是等比数列；
（2）由（1）得：数列{b_n}是等比数列，
所以：$\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{1}+3}={2}^{n-1}$，
由于：a₁=1，
所以：${a}_{n}={2}^{n+1}-3$
则：S_n=a₁+a₂+…+a_n
=2²-3+2³-3+…+2ⁿ⁺¹-3
=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-（3+3+…+3）
=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}-3n$
=2ⁿ⁺²-3n-4

点评 本题考查的知识要点：利用定义法证明数列是等比数列，求数列通项公式，利用分组法求出数列的前n项和．