Question

9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S是△ABC的面积，bcosC+ccosB=2acosB
（Ⅰ）求B的值
（Ⅱ）设a=8，S=10$\sqrt{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知等式可得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，整理可求cosB=$\frac{1}{2}$，结合B的范围，即可求得B的值；
（Ⅱ）由已知及三角形面积公式可求c，由余弦定理即可求b的值．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）∵bcosC+ccosB=2acosB
∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，…2分
∴sin（B+C）=2sinAcosB，
∵A+B+C=π，∴sinA=2sinAcosB，
∵sinA≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π
∴B=$\frac{π}{3}$…6分
（Ⅱ）∵a=8，S=10$\sqrt{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}acsinB=2\sqrt{3}c=10\sqrt{3}$，…9分
∴c=5
∵B=$\frac{π}{3}$
∴b²=a²+c²-2accosB=64$+25-2×8×5×\frac{1}{2}=49$，
∴b=7…12分．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的综合应用，属于基本知识的考查．