Question

1．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，且a_n+1=2a_n+3a_n-1（n≥2，n∈N⁺）．
（Ⅰ）设b_n=a_n+1+a_n（n∈N⁺），求证{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）（i）求数列{a_n}的通项公式；
（ii）求证：对于任意n∈N⁺都有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{2n}}$＜$\frac{7}{4}$成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件对已知的数列关系式进行恒等变形，进一步的出数列是等比数列．
（Ⅱ）（i）根据（Ⅰ）的结论进一步利用恒等变换，求出数列的通项公式．
（ii）首先分奇数和偶数分别写出通项公式，进一步利用放缩法进行证明．

解答 证明：（Ⅰ）已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，且a_n+1=2a_n+3a_n-1（n≥2，n∈N⁺）．
则：a_n+1+a_n=3（a_n+a_n-1）
即：$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}}{{a}_{n}+{a}_{n-1}}=3（常数）$，
所以：$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=3$，
数列{b_n}是以首项为3，公比为3的等比数列．
（Ⅱ）（i）由于数列{b_n}是等比数列．
则：$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}}{{a}_{2}+{a}_{1}}={3}^{n-1}$，
整理得：${a}_{n+1}+{a}_{n}={3}^{n}$
所以：${a}_{n+1}-\frac{{3}^{n+1}}{4}=-{（a}_{n}-\frac{{3}^{n}}{4}）$
则：$\{{a}_{n}-\frac{{3}^{n}}{4}\}$是以（${a}_{1}-\frac{3}{4}$）为首项，-1为公比的等比数列．
所以：${a}_{n}-\frac{{3}^{n}}{4}=（1-\frac{3}{4}）（-1）^{n-1}$
求得：${a}_{n}=\frac{{3}^{n}+（-1）^{n-1}}{4}$
（ii）由于：${a}_{n}=\frac{{3}^{n}+{（-1）}^{n-1}}{4}$，
所以：$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{4}{{3}^{n}+（-1）^{n-1}}$，
则：（1）当n为奇数时，$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{4}{{3}^{n}+1}$，
当n为偶数时，$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{4}{{3}^{n}-1}$，
所以：$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…\frac{1}{{a}_{2n-1}}+\frac{1}{{a}_{2n}}$=$\frac{4}{3+1}+\frac{4}{{3}^{2}-1}+$…+$\frac{4}{{3}^{2k-1}+1}$+$\frac{4}{{3}^{2k}-1}$
＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{2}^{k-2}}）}{1-\frac{1}{2}}$
$＜1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$，
所以：n∈k时，对任意的k都有$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…\frac{1}{{a}_{2n-1}}+\frac{1}{{a}_{2n}}＜\frac{7}{4}$恒成立．

点评 本题考查的知识要点：利用定义法证明数列是等比数列，利用构造数列的方法来求数列的通项公式，放缩法的应用．