Question

16．已知正数x，y满足$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，则$\frac{4x}{x-1}$+$\frac{9y}{y-1}$的最小值为25．

Answer 1

分析 由已知条件可得y=$\frac{x}{x-1}$且x-1＞0，代入变形可得$\frac{4x}{x-1}$+$\frac{9y}{y-1}$=13+$\frac{4}{x-1}$+9（x-1），由基本不等式可得．

解答 解：∵正数x，y满足$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，
∴y=$\frac{x}{x-1}$，∴x-1＞0，
∴$\frac{4x}{x-1}$+$\frac{9y}{y-1}$=$\frac{4x}{x-1}$+$\frac{\frac{9x}{x-1}}{\frac{x}{x-1}-1}$
=$\frac{4x}{x-1}$+9x=$\frac{4（x-1）+4}{x-1}$+9（x-1）+9
=13+$\frac{4}{x-1}$+9（x-1）
≥13+2$\sqrt{\frac{4}{x-1}•9（x-1）}$=25，
当且仅当$\frac{4}{x-1}$=9（x-1）即x=$\frac{5}{3}$时取等号，
∴$\frac{4x}{x-1}$+$\frac{9y}{y-1}$的最小值为：25．
故答案为：25．

点评 本题考查基本不等式求最值，消元并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．