Question

11．已知函数F（x）=lnx，f（x）=$\frac{1}{2}$x²+a，a为常数，直线l与函数F（x）和f（x）的图象都相切，且l与函数F（x）的图象的切点的横坐标是1
（Ⅰ）求直线l的方程和a的值；
（Ⅱ）求证：F（x）≤f（x）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程，运用切点在曲线上，代入方程，可得a；
（Ⅱ）令H（x）=F（x）-f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，（x＞0），求出导数，求得单调区间和极值、最值，即可得证．

解答 （Ⅰ）解：函数F（x）=lnx的导数为F′（x）=$\frac{1}{x}$，
f（x）=$\frac{1}{2}$x²+a的导数为f′（x）=x，
l与函数F（x）的图象的切点的横坐标是1，
则l的斜率为k=1，切点为P（1，0），
即有直线l的方程为y-0=x-1，即为x-y-1=0；
设l与f（x）的图象相切的切点为（m，n），
即有m=1，n=0，$\frac{1}{2}$+a=0，
解得a=-$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）证明：令H（x）=F（x）-f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，（x＞0），
则H′（x）=$\frac{1}{x}$-x=$\frac{1-{x}^{2}}{x}$，
当0＜x＜1时，H′（x）＞0，H（x）递增；
当x＞1时，H′（x）＜0，H（x）递减．
则当x＞0时，H（x）的最大值为H（1）=0，
即有H（x）≤0，
即F（x）≤f（x）成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，同时考查不等式的证明，注意运用导数求最大值，属于中档题．