Question

19．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e^x（x²+ax-2）在区间（-3，-2）内单调递减，则实数a的取值范围为[$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，根据函数g（x）在（-3，-2）上恒小于等于0列式求出a的取值范围即可．

解答 解：由f（x）=（x²+ax-2）e^x，得
f′（x）=[x²+（a+2）x+a-2]e^x，
令g（x）=x²+（a+2）x+a-2，
因为△=（a+2）²-4（a-2）=a²+12＞0，
所以g（x）有两个不相等的实数根x₁，x₂，不妨设x₁＞x₂，
要使f（x）在[-3，-2]上单调递减，
必须满足$\left\{\begin{array}{l}{g（-3）≤0}\\{g（-2）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{9-3（a+2）+a-2≤0}\\{4-2（a+2）+a-2≤0}\end{array}\right.$，
解得：a≥$\frac{1}{2}$，
故答案为：[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，训练了方程的根与二次函数的图象之间的关系，属中档题．