Question

20．在平面直角坐标系xOy中，以坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最值．

Answer 1

分析 （1）由直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t即可化为直角坐标方程x-$\sqrt{3}$y-2=0．由曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ，化为ρ²=2ρcosθ，把$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$代入即可化为直角坐标方程．
（2）由圆的方程（x-1）²+y²=1，可得圆心C（1，0），半径r=1．可得圆心C到直线l的距离d=$\frac{1}{2}$＜r，即可得出曲线C上的点到直线l的距离的最大值为d+r，最小值为0．

解答 解：（1）由直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t化为x-$\sqrt{3}$y-2=0．
由曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ，化为ρ²=2ρcosθ，∴x²+y²=2x，配方为（x-1）²+y²=1．
（2）由圆的方程（x-1）²+y²=1，可得圆心C（1，0），半径r=1．
∴圆心C到直线l的距离d=$\frac{|1-2|}{2}$=$\frac{1}{2}$＜r，
∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为d+r=$\frac{3}{2}$，最小值为0．

点评 本题考查了直线的参数方程化为普通方程、椭圆的极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．