Question

12．已知函数f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{3}$）（ω＞0）图象的相邻的两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，且f（C）=0，求三边长之比a：b：c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意有$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，解得ω，即求得解析式f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），由0$≤x≤\frac{π}{2}$，可得-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，由正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．
（Ⅱ）由正弦定理化简已知等式可得a+c=2b，由f（C）=0，结合C的范围可求得C=$\frac{π}{6}$或C=$\frac{2π}{3}$，从而由余弦定理即可求得三边之比．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{3}$）（ω＞0）图象的相邻的两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$．
∴$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，解得ω=2，即有f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
当0$≤x≤\frac{π}{2}$时，-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，故x=0时，f（x）_min=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当x=$\frac{5π}{12}$时，f（x）_max=1，
故所求值域为：[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]…6分
（Ⅱ）∵sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，
∴sinB（sinA+sinC）=2sin²B，由sinB≠0，sinA+sinC=sinB，
由正弦定理得：a+c=2b，
∵f（C）=0，∴sin（2C-$\frac{π}{3}$）=0，又0$＜C＜π，即-\frac{π}{3}＜2C-\frac{π}{3}＜\frac{5π}{3}$，
∴C=$\frac{π}{6}$或C=$\frac{2π}{3}$．
由余弦定理得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-（2b-a）^{2}}{2ab}$=$\frac{4a-3b}{2a}$．
当C=$\frac{π}{6}$时，$\frac{4a-3b}{2a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴（4-$\sqrt{3}$）a=3b，此时a：b：c=3：（4-$\sqrt{3}$）：（5-2$\sqrt{3}$），
当C=$\frac{2π}{3}$时，$\frac{4a-3b}{2a}$=-$\frac{1}{2}$，∴5a=3b，此时a：b：c=3：5：7．
故所求三边之比为：3：（4-$\sqrt{3}$）：（5-2$\sqrt{3}$）或3：5：7．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．