Question

4．已知f（x）是定义在R上的偶函数．其导函数为f′（x），若f（x）+xf′（x）＜0，且f（x+1）=f（3-x），f（2015）=2，则不等式xf（x）＜2的解集为（　　）

• A． （-∞，2015）
• B． （2015，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 先求出f（x）是以2为周期的函数，得到f（2015）=f（1）=2，构造新函数g（x），结合函数的单调性得到g（x）＜g（1），从而求出不等式的解集．

解答 解：∵f（x+1）=f（3-x），
∴f（x-2）=f（-x）=f（x）
∴f（x）是以2为周期的函数，
∴f（2015）=f（1）=2，
设g（x）=xf（x），
则g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
∴g（x）是R上的减函数，
不等式xf（x）＜2可以转化为xf（x）＜1•f（1），
即g（x）＜g（1），
∴x＞1，
故选：D．

点评 本题考查了函数的周期性，函数的单调性，考查转化思想，导数的应用，是一道中档题．