Question

19．在△ABC内，b²=a²+bc，A=$\frac{π}{6}$，求角C．

Answer 1

分析 利用余弦定理表示出cosA，将cosA的值及已知等式变形后代入计算整理得到c=（$\sqrt{3}$-1）b，代入已知等式用b表示出a，再利用余弦定理表示出cosC，把表示出的a与c代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数．

解答 解：∵在△ABC内，b²=a²+bc，A=$\frac{π}{6}$，
∴a²=b²-bc，
cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}+bc}{2bc}$=$\frac{{c}^{2}+bc}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴c²=（$\sqrt{3}$-1）bc，即c=（$\sqrt{3}$-1）b，
∴b²=a²+（$\sqrt{3}$-1）b²，即a²=（2-$\sqrt{3}$）b²，
开方得：a=$\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}$b=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$b，
∵cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{（-1+\sqrt{3}）{b}^{2}}{2\sqrt{2-\sqrt{3}}{b}^{2}}$=$\frac{-1+\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵C为三角形内角，
∴C=$\frac{3π}{4}$．

点评 此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．