Question

9．在数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+1-a_n=sin$\frac{（n+1）π}{2}$，记S_n为数列{a_n}的前n项和，则S₂₀₁₅=1008．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1-a_n=$sin\frac{（n+1）π}{2}$，可得a₂=a₁+sinπ=1，同理可得a₃=1-1=0，a₄=0+0=0，a₅=0+1=1，可得a₅=a₁，以此类推可得a_n+4=a_n．利用数列的周期性即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1-a_n=$sin\frac{（n+1）π}{2}$，
∴a₂=a₁+sinπ=1，同理可得a₃=1-1=0，a₄=0+0=0，a₅=0+1=1，
∴a₅=a₁，
以此类推可得a_n+4=a_n．
∴S₂₀₁₅=503×（a₁+a₂+a₃+a₄）+a₁+a₂+a₃=503×2+2=1008．
故答案为：1008．

点评 本题考查了数列的周期性、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．