Question

17．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=f′（$\frac{π}{6}$）sinx+f′（$\frac{π}{3}$）cosx+x，则f′（$\frac{π}{3}$）=（　　）

• A． 3-$\sqrt{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 3+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求函数的导数，建立方程组进行求解即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=f′（$\frac{π}{6}$）cosx-f′（$\frac{π}{3}$）sinx+1，
令x=$\frac{π}{3}$，则f′（$\frac{π}{3}$）=f′（$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{3}$-f′（$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$+1，
即f′（$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$f′（$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$f′（$\frac{π}{3}$）+1，
即（2+$\sqrt{3}$）f′（$\frac{π}{3}$）=f′（$\frac{π}{6}$）+2，①
令x=$\frac{π}{6}$，则f′（$\frac{π}{6}$）=f′（$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-f′（$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{6}$+1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$f′（$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$f′（$\frac{π}{3}$）+1
即（2-$\sqrt{3}$）f′（$\frac{π}{6}$）=2-f′（$\frac{π}{3}$），②
联立①②，
得f′（$\frac{π}{3}$）=3-$\sqrt{3}$，
故选：A

点评 本题主要考查导数的计算，求函数的导数解方程即可，运算容易出错．