Question

7．过点C（0，p）的直线与抛物线x²=2py（p＞0）相交于A，B两点，若点N是点C关于坐标原点的对称点，则△ANB面积的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$p
• B． $\sqrt{2}$p
• C． 2$\sqrt{2}$p²
• D． $\sqrt{2}$p²

Answer 1

分析 依题意，点N的坐标为N（0，-p），可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=kx+p，与x²=2py联立消去y得x²-2pkx-2p²=0．然后由韦达定理结合三角形面积公式进行求解．

解答 解：依题意，点N的坐标为N（0，-p），
可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB的方程为y=kx+p，与x²=2py联立，消去y得x²-2pkx-2p²=0．
由韦达定理得x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-2p²．
于是S_△ABN=S_△BCN+S_△ACN=$\frac{1}{2}•2p•$|x₁-x₂|=2p²$\sqrt{{k}^{2}+2}$，
∴当k=0时，△ANB面积的最小值为2$\sqrt{2}$p²．
故选：C．

点评 本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．