Question

7．设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a≠0，命题q：实数x满足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6≤0}\\{{x}^{2}+2x-8＞0}\end{array}\right.$．
（1）若a=1，且p且q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1，p且q为真时，则p，q同时为真，建立条件即可求实数x的取值范围；
（2）利用p是q的必要不充分条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，由x²-4x+3＜0得1＜x＜3，即p：1＜x＜3，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6≤0}\\{{x}^{2}+2x-8＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜3}\\{x＞2或x＜-4}\end{array}\right.$，得2＜x＜3
q：2＜x＜3，
∵p且q为真，
∴p，q同时为真，即x满足$\left\{\begin{array}{l}{2＜x＜3}\\{1＜x＜3}\end{array}\right.$，
即2＜x＜3．
由$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{{x}^{2}+2x-8＞0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{x＞2或x＜-4}\end{array}\right.$，得x＜-4
q：x＜-4，
∵p且q为真，
∴p，q同时为真，即x满足$\left\{\begin{array}{l}{x＜-4}\\{1＜x＜3}\end{array}\right.$，
即2＜x＜3．
（2）∵p是q的必要不充分条件，
∴q是p的充分不必要条件，
由p知，即A={x|a＜x＜3a，a＞0}，
由q知，B={x|2＜x＜3}
∴B?A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a≥3}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a≤2}\end{array}\right.$，
1≤a≤2
即实数a的取值范围是[1，2]．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用复合命题之间的关系是解决本题的关键．