Question

10．在△ABC中，若|AB|=1，|AC|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，则其形状为③，$\frac{{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}}{{|{\overrightarrow{BC}}|}}$=$\frac{1}{2}$（①锐角三角形 ②钝角三角形  ③直角三角形，在横线上填上序号）．

Answer 1

分析 根据已知条件，取边BC的中点D，连接AD，所以由$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=2|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{BC}|$得，|AD|=||CD|=|BD|，所以设|AD|=a，然后由余弦定理分别求出cos∠ADB和cos∠ADC，而根据cos∠ADB=-cos∠ADC即可求出a=1，从而|BC|=2，从而可得到△ABC为直角三角形，cosB=$\frac{1}{2}$，所以进行数量积的计算即可求出$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$．

解答 解：如图，取BC中点D，则|AD|=|BD|=|CD|；
∴设|AD|=a，|AB|=1，|AC|=$\sqrt{3}$；
∴分别在△ABD和△ACD中，由余弦定理得：
$cos∠ADB=\frac{2{a}^{2}-1}{2{a}^{2}}$，$cos∠ADC=\frac{2{a}^{2}-3}{2{a}^{2}}$；
又cos∠ADB=-cos∠ADC；
∴2a²-1=-2a²+3；
解得a=1；
∴|BC|=2；
∴|AB|²+|AC|²=|BC|²；
∴△ABC为直角三角形；
$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}=|\overrightarrow{BA}|cosB=1•\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$．
故答案为：③，$\frac{1}{2}$．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，余弦定理，互补的两角的余弦值的关系，直角三角形的边的关系，以及数量积的计算公式．